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17 Araberpferde - ein Fall für Sitzzu...

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Philipp Wälchli (Unregistrierter Gast)
Veröffentlicht am Sonntag, 02. April 2006 - 10:37 Uhr:   

Wer kennt nicht das klassische Problem des Arabers mit seinen 17 edlen Pferden, die er in seinem Testament seinen Söhnen zu ungleichen Teilen vermachte? Der älteste sollte die Hälfte bekommen, der mittlere ein Drittel und der jüngste Sohn noch ein Neuntel der Pferde.
Nach dem Tod des Vaters bekamen die Söhne Schwierigkeiten mit der Erbteilung, denn die Hälfte, ein Drittel und ein Neuntel von 17 sind nicht ganzzahlig. Was also tun? Ein weiser Derwisch wusste dann die Lösung: Er stellte sein Pferd hinzu, gab dem ältesten Sohn 9, dem mittleren 6 und dem jüngsten 2 Pferde - und siehe da, konnte sein eigenes wieder mitnehmen.

Soweit also die klassische Lösung, die immer und überall wieder kolportiert wird. Im Grunde aber liegt hier nichts weiter als ein Rundungsvorgang vor. Dabei ist es mathematisch gleichgültig, ob unmittelbar gerundet wird oder ob die Rundung erfolgt, indem die Ausgangssumme gerundet wird.
Wird zuerst mit Bruchteilen gerechnet und werden diese anschliessend gerundet, erhält man dasselbe Ergebnis: 1/2 von 17 ist 8 1/2, 1/3 von 17 ist 5 2/3, 1/9 von 17 schliesslich ist 1 8/9. Die Zahlen können nach der Standardrundung alle auf die nächsthöhere ganze Zahl aufgerundet werden, wodurch sich wiederum 9, 6 und 2 ergeben. Das 18. Pferd hätte man also bei mathematisch korrektem Vorgehen gar nicht hinzuziehen müssen.
Warum aber lässt sich diese Aufrundung durchführen, ohne dass tatsächlich 18 Pferde verteilt werden? Warum muss nicht etwa um denselben Bruchteil, um den andernorts aufgerundet wird, bei einem der Söhne abgerundet werden? Das "Geheimnis" der ganzen Aufgabenstellung liegt darin, dass der Vater in seinem Testament nicht die ganze Erbschaft verteilt hat, sondern nur 17/18, denn die Hälfte sind 9/18, ein Drittel 6/18 und ein Neuntel 2/18, zusammen also 17/18, 1/18 bleibt somit für Aufrundungen verfügbar. Tatsächlich erhalten am Ende die Söhne jeweils mehr, als ihnen strikte mathematisch zustünde, der älteste Sohn gewinnt 1/2 Pferd hinzu, der mittlere 1/3 und der jüngste 1/9.

Im Grunde erweist sich dieses klassische Problem aber als einer Sitzzuteilung bspw. in einem Parlament vergleichbare Aufgabe: In beiden Fällen kommen nur ganzzahlige Verteilungen in Frage, da sich weder Pferde noch Sitze teilen lassen; in beiden Fällen muss geeignet gerundet werden; in beiden Fällen wird ein Teil der Ausgangssumme (testamentarische Quote oder Stimmen) nicht verteilt, insofern ist der Quoten-Trick des Vaters bspw. einer Sperrklausel vergleichbar.
Es wäre nun gewiss interessant, verschiedene Sitzzuteilungsverfahren auf dieses Problem anzuwenden. Dabei kann man bspw. von folgenden Stimmenzahlen ausgehen: Partei A erhält 9 Stimmen, B 6 und C 2, 1 Stimme fällt unter die Sperrklausel, ist ungültig, wurde nicht abgegeben o. dgl. Nach Belieben lassen sich die Stimmenzahlen auch verfielfachen, bspw. auf 9000, 6000, 2000 und 1000.
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sebu
Veröffentlicht am Sonntag, 09. April 2006 - 10:18 Uhr:   

Meiner Meinung stimmt es so nicht ganz: wenn man mit 9,6,2,.. oder einem Vielfachem anfängt, startet man ja quasi schon mit der Sitzzuteilung. Richtiger wäre es mit den Anteilen (Gewichten) der Brüder zu beginnen, also 1/2, 1/3 und 1/9, jemand dritten (vierten) braucht man dann nicht.
Für D'Hondt, Sainte-Lague, Hill und Adams ergeben sich demnach jeweils immer 9,6,2 Pferde mit Divisoren 0.53,0.056,0.056 und 0.06, also z.B. für Adams:
1/2 geteilt durch 0.06 ergibt 8.33 wird aufgerundet zu 9
1/3 geteilt durch 0.06 ergibt 5.56 wird aufgerundet zu 6 und
1/9 geteilt durch 0.06 ergibt 1.85 wird aufgerundet zu 2
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Philipp Wälchli (Unregistrierter Gast)
Veröffentlicht am Sonntag, 09. April 2006 - 12:12 Uhr:   

Tja, lieber sebu, das Problem liegt in der Mathematik:
Wir haben 1/2, 1/3 und 1/9. Dies sind Brüche, die sich nicht unmittelbar miteinander verrechnen lassen. D. h. dass damit keine Operationen durchgeführt werden können. Wie man früher in der Schule noch lernte, müssen die Brüche, um mit ihnen rechnen zu können, auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Bei 1/2 und 1/3 ist es einfach: 3/6 und 2/6 sind jeweils gleich viel wie 1/2 und 1/3; das Vorgehen ist also simpel: Man multipliziere einfach die beiden Nenner miteinander, also in diesem Fall 2 mal 3 = 6. Nun tritt aber noch 1/9 hinzu; man könnte nun wiederum einfach die Nenner multiplizieren, also 2 mal 3 mal 9; nun ist aber 9 ein Mehrfaches von 3, daher ist diese Aufblähung des Nenners unnötig bzw. kann wieder weggekürzt werden; wenn man nun alle Brüche in n/18 umformt, dann kann mit allen gerechnet werden, die Operationen sind durchführbar. 1/2 ist dann 9/18 (9 ist die Hälfte von 18), 1/3 ist 6/18 (3 mal 6 = 18), 1/9 ist 2/18 (2 mal 9 = 18).
Das ist auch schon der ganze Grund, warum wir so rechnen müssen.
Nun kommt hinzu, dass Stimmen niemals als Bruchteile abgegeben werden, sondern es gibt immer nur ungeteilte Stimmen - jedenfalls in den bekannten und üblichen Wahlverfahren; daher können wir einfach die Zähler der drei Brüche als Stimmen übernehmen oder zur Simulation eines grösseren Wählerkreises vervielfachen, also 9, 6 und 2. Wollten wir anders verfahren und bspw. 10000 Stimmen zu 1/2, 1/3 und 1/9 aufteilen, so ergäbe sich wiederum das Problem, dass es keine ganzzahligen Lösungen dafür gibt, wir können keine 0.333... Stimmen verteilen!
Wenn man das aber eben so ausrechnet, ergibt sich die Sitzverteilung durchaus vorab, denn sie steckt in den Zahlenverhältnissen selbst und ist in der Formulierung des Problems einfach verschleiert worden, wir haben mit der oben angestellten Bruchrechnung nichts präjudiziert, sondern einfach nur das Gegebene offensichtlich gemacht. In einem Verfahren, das die Verhältnisse zwischen den Stimmenanteilen auf die Sitzverteilung abbildet, können ausser Rundungsdifferenzen keine neuen, anderen Verhältnisse auftreten als jene, die eben in den Stimmen-Zahlen schon gegeben sind.
Nun kommt als weiterer Punkt hinzu, dass 1/2 + 1/3 + 1/9 eben nicht 1 ergeben, sondern 1/18 weniger. Wenn wir diese Situation auf ein Wahlverfahren abbilden müssen, dann müssen wir für diese verlorengegangene 18. Stimme von eigentlich 18 eine Erklärung finden, bspw. dass sie unter eine Sperrklausel fällt, nicht abgegeben wurde o. dgl. Das ist schon die ganze Hexerei, im Grunde also eigentlich trivial, wenn das Beispiel nicht so abgefeimt ausgesucht wäre, dass es nicht spontan durchschaut werden kann.
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sebu
Veröffentlicht am Montag, 10. April 2006 - 12:33 Uhr:   

In der Tat ist es ein Problem der Mathematik, und zwar ein Skalierungsproblem. Bei der Sitzzuteilung nach Wahlen skaliert man die Stimmenzahlen herunter auf die Parlamentsgröße und rundet dann. Damit die Größenordnung passt, verwendet man Divisoren. Die Zahlen 1/2, 1/3 und 1/9 kann man auch (ganz abstrakt) als Eingangsgewichte sehen. Dann haben wir wieder ein Skalierungsproblem, nur dass wir diesmal statt herunter hochskalieren müssen. Statt meines oben angegeben Divisors wäre also ein Multiplikator sinnvoller; in unserem Fall müsste man (um einen schönen Multiplikator zu nennen) mit 18 hochskalieren, also 1/2*18=9, 1/3*18=6 und 1/9*18=2. Dies ist genau die Lösung, die Sie beschreiben, nur etwas formaler ausgedrückt.

Dass sich die Zahlen nicht zu 1 addieren, ist für mich unproblematisch. Will man 1 haben, muss man wieder skalieren - bei Wahlen geben wir ja auch die Prozentangaben als Prozente der zuteilungsberichtigten Stimmen an, also sind die Berechnungsgrundlage die gültigen Stimmen derjenigen Parteien, die die Sperrklausel überwunden haben. In unserem Fall haben wir hier 17/18 zuteilungsberechtigte Stimmen, also entspricht 17/18 dem "Ganzen". Um nun Gewichte zu bekommen, die sich zu 1 addieren, müssen wir nur die bisherigen mit dem Kehrwehrt multiplizieren, also 18/17*1/2 = 9/17, 18/17*1/3=6/17 und 18/17*1/9=2/17, was wiederum zur Lösung führt.
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Philipp Wälchli (Unregistrierter Gast)
Veröffentlicht am Montag, 10. April 2006 - 14:56 Uhr:   

Das ist alles richtig; ich möchte nur ergänzen:
Das Problem mit der 1 stammt aus der ursprünglichen Formulierung des Problems als Testament. Irgendwie wirkt es dort befremdlich, dass im Testament Anteile erwähnt werden, die zusammen nicht 1 (die ganze Erbschaft), sondern nur 17/18 der Erbschaft ergeben. Bei der Prüfung des Testamentsentwurfs durch einen Notar oder Anwalt wäre dies gewiss bemerkt worden (aber das Beispiel ist ja nicht aus dem Leben gegriffen, sondern konstruiert). Bei Wahlen hingegen ist das "Fehlen" von 1/18 durchaus aus dem Lebenszusammenhang heraus erklärbar.
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Arno Nymus
Registriertes Mitglied
Veröffentlicht am Freitag, 29. April 2011 - 22:55 Uhr:   

Philipp Wälchli schrieb

quote:

Tja, lieber sebu, das Problem liegt in der Mathematik:



Schlichtweg nein. Die von Dir fabrizierten "Probleme", die Du dann wieder zu lösen suchst, sind reine Anschauungsprobleme, keine mathematischen.

Beispiel 1:
Philipp Wälchli schrieb

quote:

Wir haben 1/2, 1/3 und 1/9. Dies sind Brüche, die sich nicht unmittelbar miteinander verrechnen lassen. [...]
Das ist auch schon der ganze Grund, warum wir so rechnen müssen.



Es ist absolut kein Problem für die Mathematik mit Brüchen zu rechnen. Das ändert sich auch nicht dadurch, dass uns in der Grundschule gezeigt wird, dass man sie im Kopf besser überblicken kann, wenn man sie auf den gleichen Nenner bringt.
Auch haben Sitzzuteilungsverfahren absolut kein Problem damit, wenn Eingangswerte nicht ganzzahlig sind.
Die Skalierung um den Faktor 18 ist insofern mathematisch vollkommen unnötig, insbesondere wenn man ein Divisorverfahren verwendet wie Sainte-Lagüe. Bei diesem werden ja nachher lediglich Quotienten in ihrer Größe mit einander verglichen.

Der einzige Grund, warum man das tun sollte, ist, wenn man unbedingt die Eingangswerte als "Stimmen" auffassen will, um die Analogie zu einer Wahl bis zur Vollkommenheit auszureizen. Das ist aber kein mathematisches Problem.

Beispiel 2:
Philipp Wälchli schrieb

quote:

Nun kommt als weiterer Punkt hinzu, dass 1/2 + 1/3 + 1/9 eben nicht 1 ergeben, sondern 1/18 weniger. Wenn wir diese Situation auf ein Wahlverfahren abbilden müssen, dann müssen wir für diese verlorengegangene 18. Stimme von eigentlich 18 eine Erklärung finden



Es ist mathematisch kein Problem, davon auszugehen, dass es 17 Stimmen bei einer Wahl gibt (oder 17/18 Stimmen), welche beliebig verteilt sind.

Auch hier ist die einzige Rechtfertigung für das Hinzufügen einer 18. Stimme bzw. eines zusätzlichen 1/18 Anteils die Anschaulichkeit des Beispiels.
Du hattest ja offensichtlich schon vorher bei der Modellbildung genauso wie der weise Derwisch entschieden, dass bei der Zuteilung der Restanteil schlicht unberücksichtigt bleiben solle und nicht etwa die Worte des Vaters exakt zu befolgen seien (was für eines der Pferde auch kein gutes Ende gebracht hätte). Wiederum ist nicht die Mathematik Grund hierfür, sondern die Anschaulichkeit.

Insgesamt halte ich Dein Vorgehen prinzipiell für ok, aber nicht, dass Du der Mathematik die "Schuld" gibst für Deine umständliche Rechnung - die kann da nämlich wirklich nichts dafür. ;)

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