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Fehlerminimierung

Wahlrecht.de Forum » Wahlsysteme und Wahlverfahren » Sitzzuteilungsverfahren: Hare/Niemeyer, d’Hondt etc. » Fehlerminimierung « Zurück Weiter »

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Tritonus (Unregistrierter Gast)
Veröffentlicht am Mittwoch, 14. Dezember 2005 - 19:37 Uhr:   

Bei den vorgestellten Divisorverfahren fällt auf, dass bei der Betrachtung der Erfolgswertunterschide nicht der einzelne Wähler, sondern die Partei und bei der Betrachtung der Vertretungswertunterschiede nicht der einzelne Abgeordnete, sondern ebenfalls die Partei in den Fokus gerückt wird.

Erfolgswertunterschiede: Der durchschnittliche und damit optimale Erfolgswert einer Wählerstimme ergibt sich aus der Division von Gesamtsitzzahl und Gesamtstimmenzahl. Wenn ich nichts falsch verstanden habe, interessiert weder bei Sainte-Lague noch bei Hill-Huntington die EINZELNE Stimme.
Bsp.: An einer Wahl, bei der 5 Parteien antreten, nehmen 1000 Personen teil. Es sollte ein nachvollziehbares Ziel sein, die Summe der Abweichungsbeträge (Beträge sind immer positiv!) aller 1000 Stimmen vom durchschnittlichen Erfolgswert (Gesamtsitzzahl/Gesamtstimmenzahl) zu minimieren. Sainte-Lague leistet dies nicht, da nicht 1000 Erfolgswerte, sondern die 5 Erfolgswerte der 5 Parteien betrachtet werden.

Vertretungswertunterschiede: Der durchschnittliche Erfolgswert eines Abgeordneten ergibt sich aus der Division von Gesamtstimmenzahl und Gesamtsitzzahl.
Bsp.: Bei einer Wahl beteiligen sich 5 Parteien um die 100 zu vergebenden Sitze. Statt 100 Vertretungswerte werden bei der Minimierung wieder nur 5 Vertretungswerte betrachtet - sowohl bei Dean als auch bei Hill-Huntington.

Natürlich ist mir klar, dass eine Partei nach der Zuteilung ihrer Sitze nicht x verschiedene, sondern nur einen Erfolgwert hat, und nicht y verschiedene, sondern nur einen Vertretungswert hat. Es geht mir darum, dass berücksichtigt werden soll, dass es bei der einen Partei 500-mal um den EINEN Erfolgswert und bei der anderen nur 200-mal um den EINEN Erfolgswert geht. Und dass es bei der einen Partei 50-mal um den EINEN Vertretungswert und bei der anderen Partei nur 20-mal um den EINEN Vertretungswert geht.

Die Frage ist also, ob es zu Sainte-Lague, Hill-Huntington und Dean jeweils ein Pendant gibt, welches die Fehlerminimierung so vornimmt wie oben angedeutet.
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Sebastian Maier (Unregistrierter Gast)
Veröffentlicht am Mittwoch, 14. Dezember 2005 - 19:49 Uhr:   

Aus mathematischen Gründen betrachtet man statt der Abweichungsbeträge meist die Abweichungsquadrate. Um die Abweichung vom idealen Wert zu minimieren gewichtet man noch mit der "Anzahl der Betroffenen", also im Fall von Sainte-Lague mit der Anzahl der Wähler, die von einer Abweichung (Erfolgswert der Wähler einer Partei - idealem Erfolgswert)^2 betroffen sind. Rechnet man mit Vertretungsgewichten muss man mit der Anzahl der Abgeordneten gewichten. Ausführlicher findet sich das in http://www.math.uni-augsburg.de/stochastik/pukelsheim/2000a.html, v.a. Abschnitt 5 und http://www.math.uni-augsburg.de/stochastik/pukelsheim/2000b.html#4 Auf diese Weise kommen die Wähler bzw. die Abgeordneten dann in der Rechnung wieder zum Vorschein.
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Tritonus (Unregistrierter Gast)
Veröffentlicht am Donnerstag, 15. Dezember 2005 - 20:26 Uhr:   

@ Sebastian Maier:
Wie sieht es denn bei Hill-Huntington aus? Da ist ist es egal, ob man mit der Anzahl der Wähler oder der Abgeordneten gewichtet?

Leider stellt Pukelsheim nicht dar, wie eine solche Gewichtung funktioniert (hab leider keine Ahnung). Könntest du oder ein Betreiber der Seite mal ein Beispiel geben?

Danke
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Tritonus (Unregistrierter Gast)
Veröffentlicht am Samstag, 17. Dezember 2005 - 16:56 Uhr:   

@ Sebastian Maier etc.
Wäre nett, wenn jemand antworten würde.
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Sebastian Maier (Unregistrierter Gast)
Veröffentlicht am Sonntag, 18. Dezember 2005 - 19:51 Uhr:   

Be patient, Beispiel ist in Arbeit
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(Unregistrierter Gast)
Veröffentlicht am Dienstag, 03. Januar 2006 - 19:12 Uhr:   

@ Sebastian Maier
Ich will ja nicht nerven, aber wann kommt das Beispiel?
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Sebastian Maier (Unregistrierter Gast)
Veröffentlicht am Dienstag, 03. Januar 2006 - 22:00 Uhr:   

OK, wollte eigentlich über Weihnachten etwas ausführlicheres Basteln, war aber dann leider zu abgelenkt.
Das Prinzip ist folgendermaßen: berechne das Quadrat der Abweichung und gewichte mit der Anzahl der "Betroffenen", d.h. bei der Abweichung vom idealen Erfolgswert (Sainte-Lague) mit der Anzahl der Wähler und bei der Abweichung vom idealen Vertretungsgewicht (Hill/Huntington) mit der Anzahl der Abgeordneten.
=====
Beispiel:
4 Parteien mit 249,247, 55 und 47 Stimmen, 16 Sitze sind zu vergeben.
Zuteilung mit Sainte-Lague: 7,7,1,1, mit Hill/Huntington: 7,6,2,1

Idealer Erfolgswert ist 1
Erfolgswerte mit Sainte-Lague:
1.05,1,05,0.68,0.80, Summe der mit den Wählern gewichteten Abweichungsquadrate: 9.13
Erfolgswerte Hill/Huntington:
1.05,0.91,1.36,0.80, Summe der mit den Wählern gewichteten Abweichungsquadrate: 11.80

Ideales Vertretungsgewicht ist 598/16=37.375
Vertretungsgewichte Sainte-Lague:
35.57,35.29,55.00,47.00, Summe der mit den Abgeordneten gewichteten Abweichungsquadrate: 456.6071
Vertretungsgewichte Hill/Huntington
35.57,41.17,27.50,47.00, Summe der mit den Abgeordneten gewichteten Abweichungsquadrate: 396.7024
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(Unregistrierter Gast)
Veröffentlicht am Mittwoch, 04. Januar 2006 - 15:54 Uhr:   

Ich verstehe nicht, warum du Hill-Huntingten ausschließlich mit dem idealen Vertretungsgewicht in Verbindung bringst. Das Verfahren minimiert doch die Summe der realtiven Vertretungs- UND Erfolgswertabweichungen.

Ich habe keinen blassen Schimmer, wie auf die Abweichungsquadrate kommst.
Zu 1.1.: 249(0,05)²+247(0,05)²+55(0,32)²+47(0,2)² erbibt nicht 9,13. Somit ist meine Rechnung falsch.

Zu 2.1.: Wenn ich jeweils den Differenzbetrag zu 37,375 berechne, diesen quadriere und dann mit der jeweiligen Wählerzahl multipliziere und zum Schluss die auf diese Weise berechneten 4 Werte addiere, komme ich nicht auf dein Ergebnis. Somit ist auch hier meine Rechnung falsch.

Und dann geht es doch eigentlich um Beispiele, bei denen es nach Sainte-Lague, Hill-Huntington und Dean jeweils zwei verschiedene Sitzzuteilungen gibt, also "übliche Methode" vs. Methode mit Berücksichtigung der Wählerzahlen.

Danke schon mal für die Antwort.
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Sebastian (Unregistrierter Gast)
Veröffentlicht am Donnerstag, 05. Januar 2006 - 14:04 Uhr:   

Zu 1.1:
Einmal ist mir ein kleiner Rundungsfehler unterlaufen; die exakten Erfolgswerte (modulo Computerberechungswidrigkeiten) sind:
1.0507028 1.0592105 0.6795455 0.7952128 und
1.0507028 0.9078947 1.3590909 0.7952128

Bei 2 wird nicht mit den Wählerzahlen, sondern mit den Abgeordneten gewichtet.

Hill/Huntingon minimiert die Zielfunktion Summe Sitze Partei i*(Vertretungsgewicht Partei i-Gesamtvertretungsgewicht)², darüberhinaus minimiert es bei paarweisem Vergleich sämtliche relativen Vertretungs- und Erfolgswertunterschiede (vgl. Hill/Huntington-Site).

Das sind zwei unterschiedliche Ansätze der Fehlerminimierung: einmal paarweiser Vergleich (dort kommt übrigens bei der Minimierung der Unterschiede der Vertretungsgewichte das Verfahren von Dean raus), das andere Mal Minmierung einer Zielfunktion.
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(Unregistrierter Gast)
Veröffentlicht am Donnerstag, 05. Januar 2006 - 15:24 Uhr:   

Worin unterscheiden sich Vertretungsgewicht der Partei i und Gesamtvertretungsgewicht (Begriffsklärung)?

"Bei 2 wird nicht mit den Wählerzahlen, sondern mit den Abgeordneten gewichtet."

Mit welcher Anzahl von Abgeordneten denn? Wie soll ich mit einer Größe gewichten, die ich überhaupt erst ermitteln will?

"Das sind zwei unterschiedliche Ansätze der Fehlerminimierung..."
Ich denke, paarweiser Vergleich etc. sind jeweils mathematisch äquivalente ALGORITHMEN ein und desselben Verfahrens?

Nochmal zurück zu eigentlichen Ausgangsfrage: Es ging doch darum, dass Sainte-Lague/Schepers, Hill-Huntington und Dean in zwei mathematisch NICHT-äquivalenten Versionen verwendet werden können. Erstens: die sehr einfache Variante, die auf dieser Seite jeweils beschrieben wird; zweitens: die Variante mit Berücksichtigung der Wählerzahlen.

Könntest du vielleicht nur zu einem der drei Verfahren ein Beispiel geben, bei dem Variante 2 ein anderes Sitzzuteilungsergebnis generiert als Variante 1.
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Sebastian (Unregistrierter Gast)
Veröffentlicht am Donnerstag, 05. Januar 2006 - 17:34 Uhr:   

Vertretungsgewicht ist das Vertretungsgewicht der Partei, Gesamtvertetungsgewicht ist das durchschnittl. über alle Parteien.

Nun, mathematisch betrachtet ist das einfach eine Zielfunktion, die (noch nicht bekannte) Sitzzuteilung ist ja auch in den Erfolgswerten für die Fehlerminimierung im anderen Fall mit drin.

Man kann sich den Sitzzuteilungsverfahren auf unterschiedliche Art und Weise nähern, eine Möglichkeit ist paarweiser Vergleich mit Hilfe eines bestimmen Kriteriums. Eine andere Möglichkeit ist es, aus den Sitzzuteilung und den Stimmen Kennzahlen zu basteln und dann eine Art von Abstand festzulegen. Gesucht wird dann eine Sitzzuteilung mit geringstem Abstand.

Deine andere Frage verstehe ich so nicht wirklich, Wählerzahlen tauchen zum ersten Mal in Deinem vorletzten Beitrag auf. Also bitte Frage präzisieren.
Man kann im Prinzip alle Wähler einer Partei für eine Zuteilung über einen Kamm scheren, weil sie natürlich alle die gleichen Erfolgswerte haben, bzw. alle Abgeordneten einer Partei die gleichen Vertretungsgewichte haben.
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(Unregistrierter Gast)
Veröffentlicht am Donnerstag, 05. Januar 2006 - 17:42 Uhr:   

"Deine andere Frage verstehe ich so nicht wirklich, Wählerzahlen tauchen zum ersten Mal in Deinem vorletzten Beitrag auf. Also bitte Frage präzisieren."

Sorry, ich beziehe mich hier auf den Eröffnungsbeitrag und die dort aufgeworfene Fragestellung, die für mich leider immer noch nicht gelöst ist.
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(Unregistrierter Gast)
Veröffentlicht am Sonntag, 08. Januar 2006 - 12:29 Uhr:   

mit stimmen gewichtete abweichungsbeträge vom idealen erfolgswert (stimmen s, mandate m, gesamtstimmen S, zu verteilende manadate M):
summiere über alle parteien: s*|(m/s)/(M/S)-1|, M/S ist positiv und konstant für alle parteien, also ist ein faktor M/S irrelevant für die minimierung (man kann auch den kehrwert S/M mitziehen, dann ändert sich gar nix, da (S/M)*(M/S)=1), also
summiere über alle parteien: M/S*s*|(m/s)/(M/S)-1| =
summiere über alle parteien: s*|m/s-M/S| =
stimmen s positiv für allle relevanten parteien
summiere über alle parteien: |m-s/S*M|
s/S*M ist aber die quote q
also:
summiere über alle parteien |m-q| dies wird vom verfahren von hare/niemeyer minimiert --> kein divisorverfahren
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(Unregistrierter Gast)
Veröffentlicht am Donnerstag, 12. Januar 2006 - 08:23 Uhr:   

frage jetzt beantwortet? zufrieden/unzufrieden?
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(Unregistrierter Gast)
Veröffentlicht am Donnerstag, 12. Januar 2006 - 17:24 Uhr:   

Danke erstmal.

Und die Minimierung der Summe der mit den Stimmen gewichteten Abweichungsbeträge vom idealen Vertretungswert sowie die Minimierung der Summe der mit den Stimmen gewichteten relativen Abweichungen vom durchschnittlchen Erfolgs- und Vertretungswert (M/S bzw. S/M) führen ebenfalls zum Hare-Niemeyer-Verfahren?

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